L'impossibile soluzione

Messe insieme alcune informazioni necessarie, eccoci a trovare la soluzione del problema che aveva angustiato i nostri poveri ateniesi. In effetti non è rimasto molto da provare; al più occorre riprendere il filo logico del discorso.

Lemma

L'equazione t^3-2=0 è irriducibile in \mathbb{Q}.

Dim: La dimostrazione è per assurdo. Ipotizziamo che sia q=\frac{m}{n}\in\mathbb{Q};m,n\in\mathbb{Z};n\neq0 e con la frazione già ridotta ai minimi termini. Supponiamo che q sia una radice di t^3-2=0.

Ricordiamo per il teorema di unicità di scomposizione in fattori primi abbiamo che:

m={p_1}^{k_1}\dots{p_j}^{k_j}

n={r_1}^{h_1}\dots{r_j}^{h_j}

per p_z,r_v primi. Dato che abbiamo supposto che q sia una radice del polinomio di partenza, otteniamo di poter riscrivere l'equazione come

i. m^3=2n^3.

Possiamo considerare due casi:

  • se m è divisibile per 2, nella scomposizione in fattori primi di m, uno dei p_j deve essere il primo 2. Ma allora m=2^w{p_1}^{k_1}\dots{p_j}^{k_j} per un w intero positivo. Siccome abbiamo supposto che m e n siano già ridotti, otteniamo che n non deve essere divisibile per 2. Ricordando l'equazione i. si ottiene che m^3 sarà divisibile per 2^{3w} mentre l'elemento a destra dell'equazione sarà divisibile solo per 2. Quindi è assurdo supporre che m sia divisibile per 2.
  • se m non è divisibile per due, allora la i. implica che a sinistra non ci sia, fra i fattori, il numero primo 2 mentre a destra c'è, con esponente maggiore o uguale a 1. Il che è nuovamente assurdo.

Quindi non esistono soluzioni di t^3-2=0 in \mathbb{Q}.\Box

Ripartiamo quindi dalle considerazioni svolte nell'articolo precedente.

I nostri due punti di partenza sono O=(0,0) e A=(1,0) e il segmento OA è il lato del nostro cubo di partenza. Sappiamo allora che tutti i punti che possiamo costruire tramite riga e compasso a partire dai A e O sono soluzioni di equazioni di primo o di secondo grado. A loro volta i punti che possono essere costruiti, a partire dai punti così generati, saranno ancora soluzioni di equazioni di primo o di secondo grado. Quindi l'ennesimo punto ottenuto, con riga e compasso, a partire dai due punti base, sarà soluzione di un'equazione di grado 2^n per un qualche intero n.

E questo basta per concludere che il punto P di coordinate P=(\sqrt[3]{2},0), non essendo radice di una soluzione di grado pari (per l'irriducibilità mostrata sopra), non potrà mai essere costruito con riga e compasso.