Messe insieme alcune informazioni necessarie, eccoci a trovare la soluzione del problema che aveva angustiato i nostri poveri ateniesi. In effetti non è rimasto molto da provare; al più occorre riprendere il filo logico del discorso.
Lemma
L'equazione è irriducibile in
.
Dim: La dimostrazione è per assurdo. Ipotizziamo che sia e con la frazione già ridotta ai minimi termini. Supponiamo che
sia una radice di
.
Ricordiamo per il teorema di unicità di scomposizione in fattori primi abbiamo che:
per primi. Dato che abbiamo supposto che
sia una radice del polinomio di partenza, otteniamo di poter riscrivere l'equazione come
.
Possiamo considerare due casi:
- se
è divisibile per 2, nella scomposizione in fattori primi di
, uno dei
deve essere il primo 2. Ma allora
per un
intero positivo. Siccome abbiamo supposto che
e
siano già ridotti, otteniamo che
non deve essere divisibile per 2. Ricordando l'equazione
si ottiene che
sarà divisibile per
mentre l'elemento a destra dell'equazione sarà divisibile solo per 2. Quindi è assurdo supporre che
sia divisibile per 2.
- se
non è divisibile per due, allora la
implica che a sinistra non ci sia, fra i fattori, il numero primo 2 mentre a destra c'è, con esponente maggiore o uguale a 1. Il che è nuovamente assurdo.
Quindi non esistono soluzioni di in
.
Ripartiamo quindi dalle considerazioni svolte nell'articolo precedente.
I nostri due punti di partenza sono e
e il segmento
è il lato del nostro cubo di partenza. Sappiamo allora che tutti i punti che possiamo costruire tramite riga e compasso a partire dai
e
sono soluzioni di equazioni di primo o di secondo grado. A loro volta i punti che possono essere costruiti, a partire dai punti così generati, saranno ancora soluzioni di equazioni di primo o di secondo grado. Quindi l'ennesimo punto ottenuto, con riga e compasso, a partire dai due punti base, sarà soluzione di un'equazione di grado
per un qualche intero
.
E questo basta per concludere che il punto di coordinate
, non essendo radice di una soluzione di grado pari (per l'irriducibilità mostrata sopra), non potrà mai essere costruito con riga e compasso.