La «Seppia»

Qualche giorno fa' mi sono imbattuto, pensando alla forma sferica dei cactus, nel problema isoperimetrico, cioè nella dimostrazione che, a parità di superficie, la figura geometrica piana con il perimetro minimo è la circonferenza. Un analogo vale per le dimensioni maggiori a 2.

Questo mi ha dato lo spunto per provare a invertire il problema: data una superficie finita, qual è la figura con perimetro massimo. E ho ottenuto abbastanza facilmente che il problema non ha soluzioni, nel senso che è possibile determinare una figura con superficie finita e perimetro infinito. Un figura che rappresenta quanto affermo sopra è l'oggetto del presente articolo.

Descrizione costruttiva della Seppia

La «Seppia», che chiamo così per a somiglianza con il mollusco, si ottiene a partire da una circonferenza di raggio r. In particolare consideriamo di tracciare una circonferenza concentrica e di raggio r/2. Questa circonferenza interna divide il cerchio originario in un cerchio interno di raggio r/2 appunto e in una corona circolare. Immaginiamo ora di dividere la corona circolare in tre parti uguali tracciando due raggi della circonferenza esterna, che formano un angolo di 120°.

Ciò che si ottiene somiglia all'immagine sotto:

pict_002

La nostra figura (la «Seppia», per intenderci) sarà costituita dall'arco di circonferenza corrispondente ai \frac{2}{3} della circonferenza di raggio r, a cui aggiungiamo i due segmenti lunghi \frac{r}{2} tracciati verso il centro delle circonferenze concentriche. In un primo momento la figura appare così:

pict_003

Immaginiamo a questo punto di iterare la divisione per tre dell'ulteriore spicchio rimanente. La nostra spezzata prosegue sulla circonferenza interna, lungo due archi che sottendono a loro volta angoli che sono un terzo del precedente; dalla fine degli archi si dipartono ulteriori "semiraggi" che raggiungono la circonferenza esterna. Il passo successivo ci avrà quindi permesso di tracciare la figura seguente:

pict_004

Ma da qui in avanti il procedimento è semplice: basta iterare la divisione per tre dell'angolo così ottenuto e tracciare i semiraggi alternativamente verso la circonferenza interna e verso quella esterna. Le ulteriori rappresentazioni della nostra figura saranno quindi:

pict_005

seguita da:

pict_001

e così via all'infinito. Tra l'altro la ragione per cui l'ho chiamata Seppia è che i segmenti in basso somigliano ai tentacoli e l'arco di \frac{2}{3} di circonferenza, in alto, somiglia al mantello.

Dimostrazione che il perimetro è infinito

Questa dimostrazione è banale; siccome il perimetro è dato dalla somma di infiniti addendi di misura \frac{r}{2}, è semplice constatare che questa somma è infinita. Allo stesso modo è facile mostrare che la superficie è invece finita; di fatto la seppia è completamente contenuta all'interno del cerchio di raggio r, quindi in particolare la sua superficie è strettamente inferiore alla superficie del cerchio. E quindi, in particolare, è finita.

Calcolo della superficie

Un poco più complesso è calcolare quanto misura la superficie della Seppia. Sicuramente possiamo affermare che la superficie della seppia è data dal cerchio di raggio \frac{r}{2} sommata alla superficie della parte ottenuta a partire dalla corona circolare, iterando aggiunte e sottrazioni successive.

Quindi, ricordando che la superficie del cerchio è data da:

S=4\pi r^2

si ricava facilmente che la superficie del cerchio di raggio \frac{r}{2} è \pi r^2 da cui possiamo ricavare che la superficie della corona circolare sarà:

S_{Corona}=4\pi r^2-\pi r^2=3\pi r^2

Se, a questo punto, consideriamo come abbiamo costruito la Seppia, vediamo che la sua superficie è data dal cerchio interno, a cui sommiamo la corona circolare, da cui però togliamo un terzo. Quindi aggiungiamo un terzo della parte rimossa, da cui togliamo un ulteriore terzo e così via, alternando aggiunte e sottrazioni sempre della terza parte rispetto alla precedente. Si arriva così alla formula seguente, per la superficie della Seppia:

S_{Seppia}=\pi r^2+3\pi r^2-\pi r^2+\frac{1}{3}\pi r^2-\frac{1}{9}\pi r^2+\frac{1}{27}\pi r^2-\frac{1}{81}\pi r^2+\frac{1}{243}\pi r^2-\frac{1}{729}\pi r^2+...

Per procedere oltre con i nostri calcoli abbiamo a questo punto bisogno di tre lemmi.

Lemma 1 Somma della serie geometrica

Se consideriamo le somme parziali \sum_{i=0}^{m} (q)^i della serie geometrica, si dimostra per induzione che vale il risultato seguente:

\sum_{i=0}^{m} (q)^i=\frac{1-q^{m+1}}{1-q}

e quindi, con un passaggio al limite, otteniamo (per q<1):

\sum_{i=0}^{\infty} (q)^i=\lim_{m \to \infty} \frac{1-q^{m+1}}{1-q}=\frac{1}{1-q}

 

Lemma 2 (Teorema di Riemann)

«Una serie è incondizionatamente convergente se e solo se è assolutamente convergente»

Non darò la dimostrazione di questo teorema, che è possibile trovare in rete o su vari test di Analisi Matematica. Mi limiterò invece a spiegare... che cosa significa.

Una serie è assolutamente convergente quando converge la serie che ha, come termine generale, il valore assoluto del termine generale della serie di partenza. In formule, \sum_{i=0}^{\infty} a_i converge assolutamente se e solo se \sum_{i=0}^{\infty} |{a_i}| converge.

Una serie è incondizionatamente convergente quando la sua convergenza è indipendente da qualsiasi riordino dei suoi termini. Detto in altri termini: quando la somma infinita risultante gode della proprietà commutativa.

Quindi: per poter riordinare i termini della nostra serie, dovremo prima dimostrare che si tratta di una serie assolutamente convergente, il che è oggetto del Lemma successivo.

Lemma 3: La serie ottenuta dal calcolo della superficie della seppia, converge assolutamente.

Torniamo quindi a:

S_{Seppia}=\pi r^2+3\pi r^2-\pi r^2+\frac{1}{3}\pi r^2-\frac{1}{9}\pi r^2+\frac{1}{27}\pi r^2-\frac{1}{81}\pi r^2+\frac{1}{243}\pi r^2-\frac{1}{729}\pi r^2+...

questo può essere interpretato come:

S_{Seppia}=\pi r^2+3\pi r^2- \pi r^2 \sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i(\frac{1}{3})^i

S_{Seppia}=\pi r^2+3\pi r^2- \pi r^2 S_{Alterna} dove S_{Alterna}=\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i(\frac{1}{3})^i

Se noi consideriamo la serie a termini alterni, la serie che otteniamo considerando il valore assoluto del termine generale, è la serie geometrica, che è una serie convergente. Quindi, in particolare, la nostra serie converge assolutamente, quindi converge incondizionatamente; cioè possiamo riordinarne gli addendi.

Alcuni calcoli finali

Con una permutazione (possibile per i lemmi 2 e 3) si possono ottenere i passaggi seguenti:

S_{Seppia}=\pi r^2+3\pi r^2-(1 - \frac{1}{3})\pi r^2(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{81}+\frac{1}{729}\pi r^2+...)

S_{Seppia}=\pi r^2+3\pi r^2-\frac{2}{3}\pi r^2\sum_{i=0}^{\infty} (\frac{1}{9})^i

ma, per il Lemma 1, sappiamo che:

S_{Seppia}=\pi r^2+3\pi r^2-\frac{2}{3}\pi r^2 \frac{1}{1-\frac{1}{9}}=4\pi r^2-\frac{2}{3}\pi r^2 \frac{9}{8}

e quindi:

S_{Seppia}=(4-\frac{3}{4})\pi r^2=\frac{13}{4}\pi r^2

La «Seppia» ha quindi perimetro infinito e superficie S_{Seppia}=\frac{13}{4}\pi r^2.